Allá por el 1900, cuando el bueno de Frege estaba listo para publicar el segundo volumen de su obra cumbre en lógica matemática, Grundgesetze der Arithmetik, recibió una carta del bueno de Bertrand Russell que le decía algo como:
Imagine que pasa usted la mitad de su vida construyendo una casa y que en el momento de darle el remate, un simpático colega le indica que la ha edificado sobre arenas movedizas. La cuestión es que la obra de Gottlob Frege contenía en uno de sus axiomas básicos una paradoja, representada en la frase anterior y conocida posteriormente como la paradoja de Rusell, que hacía inconsistente su sistema lógico. Es decir, el barbero no puede afeitarse a sí mismo, ya que entonces, no afeitaría a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos porque él se afeitaría a sí mismo. Pero tampoco puede dejar que otro hombre le afeite, ya que él afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, y entonces él no sería el único que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos (creo que el razonamiento es ese, pero discúlpenme si detectan algún error, ya que esto de las paradojas siempre es difícil de masticar). Hay otra paradoja relacionada, llamada la paradoja del mentiroso, y aunque hay múltiples formas para esta paradoja, una de las que más me gustan, y que he encontrado aquí, aparece en Sexo, mentiras y cintas de video, película de Steven Soderbergh:
- No aceptes nunca un consejo de alguien con el que no te hayas acostado.
- Pero tú y yo nunca nos hemos acostado, ¿he de seguir tu consejo?
Tras esto, Frege no tuvo más remedio que publicar el libro con una pequeña fe de erratas, un pequeño apéndice, en el que básicamente, venía a indicarle al lector que todo el libro era un error; no creo que sea posible imaginar la magnitud de tal fracaso personal para cualquier persona que se encuentre en su situación. Tras la publicación del libro, como es natural, se sumió en una depresión y no volvió a escribir hasta algún tiempo después.
Afortunadamente -para nosotros-, aunque murió casi en el anonimato, muchos autores, entre ellos su "verdugo" Russell, se encargaron de concederle el mérito que corresponde tanto a su obra como al que hoy en día se considera uno de los mayores lógicos de la historia, o en palabras de la Wikipedia, "el mayor lógico desde Aristóteles". Que ya es bastante.
[La foto de Frege está sacada de la Wikipedia, cuyo copyright ha expirado]
¡¿El copyright de la Wikipedia ha expirado?! ;-)
Y no veo paradoja en la formulación de consejo/sexo, pero vamos, que igual sólo soy yo...
madmax Si acepta el consejo, no está haciendo caso al consejo (no aceptar consejos de...). Y si no lo acepta, está haciendo caso al consejo, pero no debe de hacerlo por el propio consejo.
En realidad no es la misma paradoja que la de Frege, sino según pone en la página, la llamada "paradoja del mentiroso" (estilo "esta frase es falsa").
M. Una vez me dijo mi padre: "hijo, en este mundo, no te fíes ni de tu padre."
Entonces, ¿qué hago? :P
V. [Web] no entiendo muy bien por que el barbero no puede afeitarse a si mismo! no es muy difícil, debería de aprender...
saludos
d16
d16 [Web] No. Si no acepta el consejo, no acepta el consejo. Puedo perfectamente no aceptar ESE consejo, porque el pintamonas este lo único que quiere es acostarse conmigo. Así, no aceptar el consejo no es necesariamente hacerle caso.
En la del barbero tampoco hay paradoja tal y como está dicho aquí, sino simplemente una afirmación falsa. Podríamos hablar de paradoja si aceptamos la afirmación como axioma, que parece ser lo que pasó con la obra de Frege (no me he puesto a mirarlo, así que no me hagas caso). También si se tratara de un ley de esa ciudad, pero, como todos sabemos, la política y las leyes están exentas de la aplicación de la lógica, así que tampoco.
La de "esta frase es falsa" sí es una paradoja, ya que si es falsa es verdadera, y si verdadera, falsa. Es más fácil encontrarlas en proposiciones con referencias circulares.
madmax Respecto a la de Rusell, tirando de Wikipedia:
"Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M a "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Entonces, M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo."
Respecto a la otra, si la primera frase es verdadera, no debe aceptar el consejo, pero el hecho de no aceptarlo implica aceptar el consejo. Pero si la consideramos falsa, entonces aceptar el consejo supone contradecir el consejo. Creo que en está también hay una clara paradoja...
M. estaba yo un dia viendo redes (si, estaba zappeando y aparecio el amigo) y hablaban sobre esta paradoja en terminos similares relacionada con las matematicas, (te cagas), la llamaban la paradoja del mentiroso:
algo asi como:
- un mentiroso dice: "estoy mintiendo"
una rayada vamos...
saludos!!
sucubo [Web] Aceptar el consejo implica no aceptarlo, así que ahí hay un problema y no puede aceptarlo. No aceptar el consejo implicaría aceptar al menos un consejo de alguien con quien no se haya acostado, no necesariamente este en concreto. Así que sólo hay paradoja si todos los consejos que recibe de personas con las que no se ha acostado son el mismo que el que estamos discutiendo. Si la acción de la película tiene lugar en una realidad siquiera un poco parecida a la nuestra, podemos tomar como falsa esta premisa y valdrá con que siga algún consejo de alguien con quien no se haya acostado.
Y esto sin meterse en el hecho de que, al menos para mí, llevar a cabo las acciones que se me dicen en un consejo no implica necesariamente seguirlo.
En cuanto a la paradoja de Russell, la conozco bien. Como digo, es paradoja si tomas la afirmación primera como necesariamente verdadera. Si no, se trata simplemente del muy conocido y usado método de reducción al absurdo, con el que llegaríamos a la conclusión, usándolo con la formulación de conjuntos que has puesto, de que el conjunto M no existe.
madmax Bueno, respecto al primer caso, ten en cuenta que la paradoja en concreto se refiere a este diálogo en concreto. De hecho, cualquier otro consejo elimina la paradoja, pero eso sería como si en lugar de que el padre dice "no te fíes ni de tu padre", dice "no te fíes ni de tu madre". En este caso desaparecería la paradoja, ya que no hay identificación entre el primero y el segundo. También hay que tener en cuenta los cuantificadores que pueden estar involucrados. Es decir, no aceptar *ningún* consejo de *ninguna* persona con la que no te hayas acostado.
Y respecto a la segunda, imagina que dice "Sea un barbero de una ciudad que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Este barbero, ¿se afeita a sí mismo?". Formulándola de este modo, yo pienso que no hay lugar a considerar si la primera sentencia es cierta o falsa.
M. "Bueno, respecto al primer caso, ten en cuenta que la paradoja en concreto se refiere a este diálogo en concreto."
Obviamente.
"De hecho, cualquier otro consejo elimina la paradoja"
Meeeeec. Vuelva a intentarlo. No hay paradoja, repito, salvo que ese sea el único consejo que llega de personas con las que no se ha acostado. Y precisamente por lo que tú mismo dices después; permíteme saltar a esa parte.
[...]
"También hay que tener en cuenta los cuantificadores que pueden estar involucrados. Es decir, no aceptar *ningún* consejo de *ninguna* persona con la que no te hayas acostado."
A los efectos de esta discusión no tendremos en cuenta la diferencia que yo hago entre "realizar una acción que se ha dicho en un consejo" y "seguir el consejo", y consideraremos ambas cosas idénticas.
Para la negación lógica y el complemento de conjuntos usaré "~" y para lo demás a ver si hay suerte y la forma "textual" no lleva a confusión.
Veamos lo que tenemos.
H: conjunto de todas las personas.
h1: el primero que habla en ese diálogo, el que da el consejo.
h2: el otro.
Tanto h1 como h2 pertenecen al conjunto H.
A(h): conjunto de todas las personas con las que h no se ha acostado.
h pertenece a H y A(h) es un subconjunto de H.
h1 pertenece a ~A(h2).
C(x,y): conjunto de todos los consejos que x da a y.
x e y pertenecen a H.
S(c): aceptar el consejo c.
c pertenece a C(x,y).
x e y pertenecen a H.
Dice h1a h2:
"No aceptes nunca un consejo de alguien con el que no te hayas acostado."
Que traducido es:
S(P): Para todo "v" perteneciente a "~A(h2)" y todo "c" perteneciente a "C(v,h2)", tenemos que "~S(c)".
Para que eso sea una paradoja, hace falta que S(P)=>~S(P) y que ~S(P)=>S(P).
La primera parte es cierta, ya P pertenece a C(h1,h2) y h1 pertenece a ~A(h2).
La segunda no. ~S(P) dice: Existe al menos un "c" perteneciente a "C(v,h2)", con "v" perteneciente a "~A(h2)" tal que "S(c)". O, traducido, "Acepta al menos un consejo de alguien con quien no te hayas acostado".
[... De hecho, cualquier otro consejo elimina la paradoja,]
"pero eso sería como si en lugar de que el padre dice "no te fíes ni de tu padre", dice "no te fíes ni de tu madre". En este caso desaparecería la paradoja, ya que no hay identificación entre el primero y el segundo."
No. Y no. Primero, la existencia de otros consejos no sería como si en lugar de [blablabla, no lo pongo otra vez]. La existencia de otros consejos es algo que viene implícito si la acción de la película tiene lugar en una realidad parecida a la nuestra. Y ni siquiera eso es necesario. Mientras no se diga lo contrario, se trata de una posibilidad a tener en cuenta.
Segundo, que un padre pase de decirle a su hijo "no te fíes de tu padre" a decirle "no te fíes de tu madre" no es que desaparezca la paradoja, es que se trata de dos problemas distintos. He quitado los "ni" porque si no ambas cosas son exactamente iguales y significan "no te fíes de nadie", y no creo que fuera eso lo que querías decir.
"Y respecto a la segunda, imagina que dice "Sea un barbero de una ciudad que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Este barbero, ¿se afeita a sí mismo?". Formulándola de este modo, yo pienso que no hay lugar a considerar si la primera sentencia es cierta o falsa."
Siempre hay lugar a considerar la falsedad de las cosas. Excepto de los axiomas. Y eso si estás dentro del sistema que definen, es decir, si primero has aceptado su veracidad. Porque incluso los axiomas pueden reconsiderarse, dando así lugar a nuevos sistemas. En particular, con la formulación del "Sea un barbero...", tienes un problema que llevaría a una paradoja, así que el problema está mal formulado y la paradoja no existe :-)
La paradoja de Russell lo era cuando la formuló porque los axiomas sobre los que descansaba la sistematización de la teoría de conjuntos permitían la definición de ese "conjunto imposible". Eso tampoco es un gran problema, excepto por el hecho de que en un sistema que permite la existencia de cosas así es trivial demostrar cualquier cosa y su contraria, así que no es interesante. Bueno, por eso y porque toda la matemática descansaba sobre la suposición de que esas cosas no existían. Pero tranquilos todos, que el problema hace mucho que quedó resuelto.
madmax Bueno, vale, aunque no sé si estoy de acuerdo, aceptamos barco. Joer :^)
M. No, no, no y no. Barco se acepta para la de Russell. Para la de Sexo, mentira y cintas de vídeo, no. La "clave" es que para que una afirmación sobre "todos" sea falsa, basta con que lo sea para "alguno". Y si no estás de acuerdo con eso, será que no hablamos el mismo idioma o que no usamos las mismas reglas, que también puede ser y no pasa nada.
Y ahora, me voy a patalear y berrear y pedirle mimos a mi mamá. :-)
madmax No, en eso estoy de acuerdo. De verdad :)
No patalees anda, que llevas razón :)
M.
